[1143][中等][动态规划] 最长公共子序列

题目描述

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。

一个字符串的子序列是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。两个字符串的「公共子序列」是这两个字符串所共同拥有的子序列。

若这两个字符串没有公共子序列，则返回 0。

示例 1:

输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 
输出：3  
解释：最长公共子序列是 "ace"，它的长度为 3。

示例 2:

输入：text1 = "abc", text2 = "abc"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "abc"，它的长度为 3。

示例 3:

输入：text1 = "abc", text2 = "def"
输出：0
解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0。

提示:

1 <= text1.length <= 1000
1 <= text2.length <= 1000
输入的字符串只含有小写英文字符。

解题思路

空间优化点

使用滚动数组的思想对使用的空间进行优化, 原本二维的状态转移表的空间复杂度为 $O(mn)$ , 其中 $m$ 和 $n$ 分别是两个字符串的长度. 观察状态转移方程, 对于 $(j, i)$ , 使用到的所有依赖为 $(j-1,i-1)$ , $(j,i-1)$ , $(j-1,i)$ . 所以我们仅存储:

上一列 $i-1$ 的结果

这样, 从前到后(状态表从上到下)循环时, 在计算 $(j, i)$ , 已经计算得到了 $(j-1,i)$ , $(j-1,i)$ 覆盖了 $(j-1,i-1)$ . 这样我们就能计算得到 $(j, i)$ , 用来覆盖 $(j,i-1)$ , 从而在列的维度上逐步推进.

需要注意 $(j-1,i)$ 覆盖了 $(j-1,i-1)$ 的值, 而在计算 $(j, i)$ 又需要 $(j-1,i-1)$ 的值, 因此需要一个额外的标量变量来存储左上角(即 $(j-1,i-1)$ )的值.

代码如下:

class Solution:
    def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:
        n, m = len(text1), len(text2)
        cache = [0] * n
        for i in range(m):
            for j in range(n):
                if j == 0:
                    la = cache[j]  # 记录左上角的值
                    cache[j] = 1 if text1[j] == text2[i] else cache[j]
                else:
                    tla = cache[j]
                    cache[j] = la + 1 if text1[j] == text2[i] else max(cache[j], cache[j - 1])
                    la = tla  # 记录左上角的值
        return cache[-1]

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空间优化点

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