[1025][简单][动态规划] 除数博弈

题目描述

1025. 除数博弈

爱丽丝和鲍勃一起玩游戏，他们轮流行动。爱丽丝先手开局。

最初，黑板上有一个数字 N 。在每个玩家的回合，玩家需要执行以下操作：

选出任一 x，满足 0 < x < N 且 N % x == 0 。 用 N - x 替换黑板上的数字 N 。 如果玩家无法执行这些操作，就会输掉游戏。

只有在爱丽丝在游戏中取得胜利时才返回 True，否则返回 false。假设两个玩家都以最佳状态参与游戏。

示例 1：

输入：2
输出：true
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃无法进行操作。

示例 2：

输入：3
输出：false
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃也选择 1，然后爱丽丝无法进行操作。

提示：

• 1 <= N <= 1000

解题思路

明显能感受到动态规划的气息.

题目给定了初始条件$N=1$, Alice输, $N=2$, Alice赢. 也给出了状态转换方程的思路. 我们将dp[i]定义为对于数字i, 先手者是不是能赢下比赛. 而题目中的Alice是先手者, 这道题目的的解就是dp[N].

对于数字i, 先手者先选择一个i的因子x, 此时的数字变成了i - x, 轮到了后手者行动. 此时的后手者变成了先手者. 而数字i的先手者想赢, 就要求i存在一个因子x, 使得dp[i-x]是False, 即下一步先手的人必输, 相当于有一个最优解即可.

由于N有限, 首先计算出来完整的状态dp, 然后直接取结果即可.

class Solution:
    def __init__(self):
        self.dp = [False] * 1001
        self.dp[2] = True

        for i in range(3, 1001):
            self.dp[i] = any(not self.dp[i - j] for j in range(1, i // 2 + 1) if i % j == 0)

    def divisorGame(self, N: int) -> bool:
        return self.dp[N]