[120][中等][动态规划] 三角形最小路径和

题目描述

120. 三角形最小路径和

给定一个三角形，找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。

相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。

例如，给定三角形：

[
     [2],
    [3,4],
   [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]

自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

说明：

如果你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题，那么你的算法会很加分。

解题思路

动态规划

第$i$行第$j$个数字与上一行的$(i-1, j-1)$和$(i-1, j)$两个数字相邻, 因此到达此点的最小路径等于它的两个相邻结点中最小路径中的较小者加上这一点的值, 对应的状态转移方程得出.

这样需要创建一个$n \times n$大小的矩阵来存储状态, 但求$i$行中点的最小路径只用到$i-1$的值, 因此使用滚动数组, 需要的空间复杂度为$O(n)$.

class Solution:
    def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
        n = len(triangle)
        last = [1e12] * n
        last[0] = triangle[0][0]

        for i in range(1, n):
            new_dp = [0] * n
            for j in range(i + 1):
                new_dp[j] = min(last[j - 1] if j - 1 >= 0 else 1e12, last[j] if j < i else 1e12) + triangle[i][j]
            last = new_dp
        return min(last)