# \[120]\[中等]\[动态规划] 三角形最小路径和

## 题目描述

[120. 三角形最小路径和](https://leetcode-cn.com/problems/triangle/)

给定一个三角形，找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。

相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。

例如，给定三角形：

```
[
     [2],
    [3,4],
   [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]
```

自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

说明：

如果你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题，那么你的算法会很加分。

## 解题思路

### 动态规划

第$$i$$行第$$j$$个数字与上一行的$$(i-1, j-1)$$和$$(i-1, j)$$两个数字相邻, 因此到达此点的最小路径等于它的**两个相邻结点中最小路径中的较小者**加上这一点的值, 对应的状态转移方程得出.

这样需要创建一个$$n \times n$$大小的矩阵来存储状态, 但求$$i$$行中点的最小路径只用到$$i-1$$的值, 因此使用滚动数组, 需要的空间复杂度为$$O(n)$$.

```python
class Solution:
    def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
        n = len(triangle)
        last = [1e12] * n
        last[0] = triangle[0][0]

        for i in range(1, n):
            new_dp = [0] * n
            for j in range(i + 1):
                new_dp[j] = min(last[j - 1] if j - 1 >= 0 else 1e12, last[j] if j < i else 1e12) + triangle[i][j]
            last = new_dp
        return min(last)
```