[123][困难][动态规划] 买卖股票的最佳时机 III

题目描述

123. 买卖股票的最佳时机 III

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入: [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出: 6
解释: 在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
     随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2:

输入: [1,2,3,4,5]
输出: 4
解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。   
     注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。   
     因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3:

输入: [7,6,4,3,1] 
输出: 0 
解释: 在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

解题思路

区别与[121][简单][动态规划] 买卖股票的最佳时机最多交易一次, 以及[123][困难][动态规划] 买卖股票的最佳时机 III可以交易无数次, 本题中最多只能交易两次. 在只能交易一次的场景下, 我们看到持有的最大收益都除了需要跟历史比较, 只需要考虑当天买入的情况, 不用考虑卖出后再买入的情况. 类似的, 对于两次交易的限制, 我们可以按交易的次数来考虑, 分别考虑交易一次和交易两次时持有和空仓的最大利润.

• 状态转为第一次持有的来源

  • 当天买入

  • 之前买入, 仍然持有, 当天无操作

• 状态转为第一次空仓的来源

  • 当天卖出

  • 交易完成一次后, 等待交易机会, 保持空仓

• 状态转为第二次持有的来源

  • 完整交易一次后, 当天买入

  • 之前已经第二次买入股票, 仍然持有, 当天无操作

• 状态转为第二次空仓的来源

  • 之前已经第二次买入股票, 当天卖出

  • 所有操作都做完了, 保持空仓

按照上述的状态转移逻辑计算, 最后计算第一次空仓和第二次空仓分别的最大利润, 取最大值.

然后考虑边界情况. 第一次持有最大利润初始化为第一天股价的负值, 表示当天第一次买入; 两次空仓对应的初始化最大利润为0; 特殊的是第二次持有最大利润的初始值, 初始状态下不可能第二次买入, 因此初始化为负无穷.

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        n = len(prices)
        if n < 2:
            return 0

        hold1, bear1, hold2, bear2 = -prices[0], 0, -1e12, 0
        for i in range(1, n):
            current = prices[i]
            bear2 = max(bear2, hold2 + current)
            hold2 = max(hold2, bear1 - current)
            bear1 = max(bear1, hold1 + current)
            hold1 = max(hold1, -current)
        return max(bear1, bear2)