0x03 统计量分布

样本均值的分布

中心极限定理

从均值为$\mu$, 有限方差为$\sigma^2$的任意总体中抽取样本量为$n$的样本, 当$n$充分大时, 样本均值$\bar{X}$的抽样分布近似服从均值为$\mu$, 方差为$\sigma/n$的正态分布.

中心极限定理要求$n$必须充分大, 实际应用中, 常要求$n\ge30$

样本比例的分布

总体中, 具有某一特征的比例为$\pi$(真实值), 当从总体中随机抽取$n$个个体, 符合这个特征的个体数量为$X$, 则样本比例可以用$\hat{p}=\frac{X}{n}$来表示, 作为总体比例$\pi$的估计.

每个个体的抽取相当于一个二项分布. 根据二项分布的期望和方差的公式, 以及中心极限定理, 可以得到当$n$充分大时, $\hat{p}$的分布可用正态分布去逼近, 此时满足$\hat{p}\sim N(\pi, \frac{\pi(1-\pi)}{n})$

两个样本平均值之差的分布

从两个不同的总体中选出两个独立的随机样本, 它们的平均值$\bar{X}_1$和$\bar{X}_2$之差的抽样分布是什么样子的呢?

假设两个总体分别是$X_1\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$, $X_2\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$, 样本的容量为$n_1$, $n_2$, 即都是正态分布, 则$\bar{X}_1-\bar{X}_2$也是正态分布, 且有:

$E(\bar{X}_1-\bar{X}_2)=\mu_1-\mu_2$

$D(\bar{X}_1-\bar{X}_2)=\frac{\sigma^2_1}{n_1}+\frac{\sigma^2_2}{n_2}$

两个样本比例之差的分布

两个总体此时为参数为$\pi_1$和$\pi_2$的二项总体, 样本容量依然为$n_1$和$n_2$. 当$n_1$和$n_2$很大时, $(p_1-p_2)$的抽样分布近似于正态分布:

$E(\hat{p}_1-\hat{p}_2)=\pi_1-\pi_2$

$D(\hat{p}_1-\hat{p}_2)=\frac{\pi_1(1-\pi_1)}{n_1}-\frac{\pi_2(1-\pi_2)}{n_2}$

样本方差的分布

样本方差的分布就比较复杂了, 这里只说总体为正态分布的情况, 对于正态整体$N(\mu,\sigma^2)$, 样本方差$S^2$的分布为:

$(n-1)S^2\sim \chi^2(n-1)$

即满足自由度为$n-1$的卡方分布.

两个样本方差比分布

同样要求两个样本都是正态分布, 即$X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$, $Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$, 则有:

$\frac{S^2_x/\sigma^2_1}{S^2_y/\sigma^2_2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$

即满足第一自由度为$n_1-1$, 第二自由度为$n_2-1$的$F$分布.