[435][中等][贪心][动态规划] 无重叠区间

问题描述

435. 无重叠区间

给定一个区间的集合，找到需要移除区间的最小数量，使剩余区间互不重叠。

注意:

• 可以认为区间的终点总是大于它的起点。

• 区间 [1,2] 和 [2,3] 的边界相互“接触”，但没有相互重叠。

示例 1:

输入: [ [1,2], [2,3], [3,4], [1,3] ]

输出: 1

解释: 移除 [1,3] 后，剩下的区间没有重叠。

示例 2:

输入: [ [1,2], [1,2], [1,2] ]

输出: 2

解释: 你需要移除两个 [1,2] 来使剩下的区间没有重叠。

示例 3:

输入: [ [1,2], [2,3] ]

输出: 0

解释: 你不需要移除任何区间，因为它们已经是无重叠的了。

解题思路

换一个角度来看, 我们看移除掉重叠的区间, 剩下的元素, 后面区间的第一个元素, 一定不小于前面区间的后一个元素. 实际上还是一个求最大递增子序列的题目, 只是由严格递增变成了非严格递增, 而比较元素大小的方式变成了比较排序后, 后面区间的左端和前面区间右端的大小. 其余保持相同.

动态规划

class Solution:
    def eraseOverlapIntervals(self, intervals: List[List[int]]) -> int:
        n = len(intervals)
        if n == 0:
            return 0
        intervals.sort()

        dp = [1] * n
        max_len = 1
        for j in range(n):
            for i in range(j):
                if intervals[j][0] >= intervals[i][1] and dp[i] >= dp[j]:
                    dp[j] = dp[i] + 1
                    max_len = max(max_len, dp[j])
        return n - max_len

贪心

类似于[300][中等][贪心][二分][动态规划][树状数组] 最长上升子序列中, 不断扩展最长子序列的长度. 但这里比较特殊, 不再是简单的数字之间的比较, 而是区间的比较, 但区间的大小无法定义.

我们知道递增的区间序列, 它的右端序列和左端序列肯定也是递增的. 可以对原数组的每个区间, 按区间的右端排序. 我们假设排序后, 对于位置i的区间A, 考虑i + 1位置的区间B, 如果B与A不重叠, 即B的左端不小于A的右端, 则它们可以组成递增序列; 但若两者重叠, 最长递增子序列在这一部分只能2选1, 且它与A区间可能的关系如下:

  【————】                i区间, 记为A
      【————】            i+1区间的一种可能, 记为B, 与区间A部分重叠
【————————————————】      i+1区间的另一种可能, 记为C, 完全涵盖A区间

对于B和C的情况, 能与B或C组成递增序列的后续区间, 也一定能与A组成递增序列, 但反过来不行. 而且A的右端最小, 留给后面的空间更大, 最终的递增序列一定是一系列区间右端最小的区间集合.

因此贪心算法, 我们在找下一个最长递增序列的区间时, 找到剩余的第一个与现有区间不重叠的(根据题目端点可以重叠)的区间, 这个区间一定是最终递增序列的一部分.

class Solution:
    def eraseOverlapIntervals(self, intervals: List[List[int]]) -> int:
        n = len(intervals)
        if n == 0:
            return 0

        intervals.sort(key=lambda x: x[1])

        length = []
        for left, right in intervals:
            if len(length) == 0 or left >= length[-1]:
                length.append(right)
        return n - len(length)