0x03 两个总体参数的检验

两个总体均值之差的检验

$\sigma^2_1$, $\sigma^2_2$已知

$\bar{x}_1-\bar{x}_2$的抽样分布服从正态分布, 可以使用$z$统计量进行检验, 如下转换:

$z=\frac{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma^2_1}{n_1}+\frac{\sigma^2_2}{n_2}}}$

$\sigma^2_1$, $\sigma^2_2$未知, 且样本量$n$较小, $\sigma^2_1=\sigma^2_2$

对$\hat{\sigma}_{\bar{x}_1-\bar{x}_2}$的估计为:

$\hat{\sigma}_{\bar{x}_1-\bar{x}_2}=s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}$

其中:

$s^2_p=\frac{(n_1-1)s^2_1+(n_2-1)s^2_2}{n_1+n_2-2}$

使用$t$检验统计量, 自由度为$n_1+n_2-2$:

$t=\frac{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-(\mu_1-\mu_2)}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$

$\sigma^2_1$, $\sigma^2_2$未知, 且样本量$n$较小, $\sigma^2_1 \ne \sigma^2_2$

对$\hat{\sigma}_{\bar{x}_1-\bar{x}_2}$的估计为:

$\hat{\sigma}_{\bar{x}_1-\bar{x}_2}=\sqrt{\frac{s^2_1}{n_1}+\frac{s^2_2}{n_2}}$

使用$t$检验统计量, 但此时的自由度为$f$:

$\begin{aligned}f=\frac{(\frac{s^2_1}{n_1}+\frac{s^2_2}{n_2})^2}{\frac{(s^2_1/n_1)^2}{n_1-1}\frac{(s^2_2/n_2)^2}{n_2-1}}\end{aligned}$

$t=\frac{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{s^2_1}{n_1}+\frac{s^2_2}{n_2}}}$

两个总体比例之差的检验

检验两个总体比例相等的假设

$H_0:\pi_1=\pi_2$

在原假设成立的条件下, 首先计算两个样本合并后得到的比例估计量, 即:

$p=\frac{x_1+x_2}{n_1+n_2}=\frac{p_1n_1+p_2n_2}{n_1+n_2}$

则此时样本比例抽样分布的方差为$p(1-p)$, 使用$z$统计量:

$z=\frac{p_1-p_2}{\sqrt{p(1-p)(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}}$

检验两个总体比例之差不为零的假设

$H_0: \pi_1-\pi_2=d_0$

此时两个样本比例之差$p_1-p_2$服从以$\pi_1-\pi_2=d_0$为期望的正态分布, 使用$z$统计量:

$z=\frac{(p_1-p_2)-d_0}{\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}}$

两个总体方差比的检验

检验两个总体方差是否相等, 通过方差比是否等于1来进行. 如果$s^2_1/s^2_2$接近于1, 说明两个总体方差$\sigma^2_1$和$\sigma^2_2$很接近.

两个方差之比服从自由度为$(n_1-1, n_2-1)$的$F$分布:

$F=\frac{s^2_1/\sigma^2_1}{s^2_2/\sigma^2_2}$

在单侧检验中, 一般把较大的$s^2$放在分子的位置, 此时$F>1$, 拒绝域在$F$分布的右侧, 对应的原假设为$H_0: \sigma^2_1 \le \sigma^2_2$, 临界点为$F_{\alpha}(n_1-1,n_2-1)$.

双侧检验中, 拒绝域在$F$分布的两侧, 两个临界点分别为: $F_{\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)$, $F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)$.